近日，首都师范大学数学科学学院青年教师赵斌与北京大学的刘若川院士、肖梁教授、NhaXuan Truong博士后合作的论文“Slopes of modular forms and geometry ofeigencurves（模形式的斜率与特征曲线的几何）”被世界顶级数学期刊《Annals of Mathematics》（数学年刊）接受。该成果是学校“双一流” 学科建设以来，在数学四大顶级期刊刊发的第 5 篇高水平学术论文，充分彰显学校数学学科深耕基础研究领域的雄厚科研实力与强劲发展势能。

模形式是数论的核心研究对象之一，也是Langlands纲领中经典而重要的实例。在这一典型情形中，自守L-函数与Galois表示的L-函数之间的深刻对应体现在特征模形式的Hecke特征值之中。因此，作为连接自守表示与Galois表示的关键不变量，Hecke特征值本身的性质也成为重要的研究对象：例如，其复绝对值的精确值由Ramanujan猜想所刻画，其分布规律则与Sato–Tate猜想密切相关。与此相对应，一个自然的p-进问题是研究这些特征值在有限素位p处的“绝对值”，即所谓的模形式的p-进斜率。

模形式p-进斜率的研究可以追溯到20世纪90年代。基于大量数值计算，人们提出了一系列深刻猜想，包括Gouvêa斜率分布猜想、Gouvêa斜率上界猜想、Breuil–Buzzard–Emerton斜率整性猜想、Gouvêa–Mazur斜率连续性猜想、特征曲线不可约分支有限性猜想，以及Coleman–Mazur–Buzzard–Kilford关于特征曲线在权空间边界处几何结构的猜想等。尽管数值证据充分，这些猜想在一般情形下长期缺乏理论进展。基于肖梁与合作者在函数域情形引入的新技术，肖梁、刘若川与人合作率先对Coleman–Mazur–Buzzard–Kilford猜想取得突破，但其它几个重要猜想仍然悬而未决。2016年前后，Bergdall和Pollack引入了组合定义的ghost级数，并将上述关于斜率的重要猜想统一为ghost猜想。该猜想预言，模形式的p-进斜率由ghost级数给出；换言之，U_p算子特征幂级数的Newton多边形与ghost级数的Newton多边形相同。

自2020年起，赵斌与刘若川、肖梁、NhaXuan Truong开展合作，证明了在特征形式所对应的Galois表示满足局部强一般性假设的情形下，ghost猜想成立，从而验证了上述关于这些模形式斜率的一系列重要猜想。其证明的核心，是构造并研究“局部”ghost级数，并由此将ghost级数的研究纳入由Breuil、Colmez、Emerton、Paškūnas等人发展起来的p进局部Langlands对应框架。借助GL₂(ℚₚ)情形下该对应的深刻理论，他们把ghost猜想转化为一系列p进分析问题，并通过复杂而精细的分析最终完成证明。

赵斌2014年博士毕业于加州大学洛杉矶分校，师从HaruzoHida教授，先后于康涅狄格大学、中科院晨兴数学中心从事博士后研究，2021年入职首都师范大学数学科学学院。他主攻数论与算术几何，深耕该领域多年，此前他与任汝飞合作在希尔伯特模形式特征簇的几何性质方面已经取得了重要进展，与刘若川、肖梁、NhaXuan Truong合作提出并研究了ghost猜想的局部版本，为本次工作奠定了坚实的基础。

数学科学学院以习近平总书记在加强基础研究座谈会上的重要讲话精神为指引，紧扣数学“双一流”学科建设目标，持续加强数学基础研究，引领青年学者潜心治学深耕学术，聚力产出高层次科研成果，持续助推学科建设高质量发展，为科技强国建设贡献首师力量。

（来源：数学科学学院；作者：赵斌；值班编辑：费烁雯、高塽；责任编辑：陈巍文）